线性齐次方程组求通解

解答如下：

对于一个n元线性齐次方程组，可以表示为：

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

…

an1x1+an2x2+…+annxn=0

其中a11,a12,…,ann是已知常数，x1,x2,…,xn是未知变量。

为了求解这个方程组的通解，需要先求解它的特解，然后再求解它的齐次解。

求解特解

特解是指当方程组中所有系数都为常数时的一个解。一种常用的方法是高斯-约旦消元法，将方程组化为简化阶梯形式，然后通过反推的方法求出特解。

求解齐次解

齐次解是指当方程组中所有系数都为零时的解。一种通用的方法是通过构造特征方程来求解齐次解。具体步骤如下：

（1）将方程组写成增广矩阵的形式，即：

(a11a12…a1n|0)

(a21a22…a2n|0)

…

(an1an2…ann|0)

（2）求解矩阵的行列式，即：

|a11-λa12…a1n|

|a21a22-λ…a2n|

|………|

|an1an2…ann-λ|

其中λ为常数。

（3）将行列式化简，得到一个关于λ的多项式。

（4）令多项式等于零，解出λ的值，得到n个特征值λ1,λ2,…,λn。

（5）将每个特征值代入以下方程：

(a11-λi)x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+(a22-λi)x2+…+a2nxn=0

…

an1x1+an2x2+…+(ann-λi)xn=0

其中i取1,2,…,n。解出上述方程组的非零解，得到n个线性无关的特征向量v1,v2,…,vn。

（6）将特征向量组合，得到齐次解的通解：

x=c1v1+c2v2+…+cnvn

其中c1,c2,…,cn是任意常数，它们确定了齐次解的具体形式。

综上所述，线性齐次方程组的通解包括一个特解和一个齐次解。通解的形式为：

x=x特+x齐

其中x特是特解，x齐是齐次解。