判断p级数的敛散性 并证明 高等数学

证明方法如下：

一、即当p≤1p≤1时，有1np≥1n1np≥1n，调和级数是发散的，按照比较审敛法：

若vnvn是发散的，在n>N,总有un≥vnun≥vn,则unun也是发散的。

调和级数1n1n是发散的，那么p级数也是发散的。

二、当p>1时，证明的思路大概就是对于每一个整数，取一个邻域区间，使邻域区间间x∈[k,k−1]x∈[k,k−1]使得某个函数在[k,k−1][k,k−1]邻域区间内的积分小于1xp1xp在这个邻域区间的积分。然后目的当然是通过积分求指数原函数解决问题。

这个证明的比较函数取的很巧妙，令k−1≤x≤kk−1≤x≤k,那么1kp≤1xp1kp≤1xp.

利用比较审敛法的感觉，应该找一个比p级数的一般式大的收敛数列，证明p级数收敛。这个就有点反套路了。

1kp=∫kk−11kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫kk−11xp1kp=∫k−1k1kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫k−1k1xp

其中（k=2,3....）（k=2,3....）

讨论级数和,用k的形式代表p级数，并且用一个大于它的函数来求得极限。

sn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫k−1k1xp=1+∫n11xpdxsn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫kk−11xp=1+∫1n1xpdx。

这里利用积分区间的可加性:

∫D1f(x)dx+∫D2f(x)dx=∫D1+D2f(x)dx。

扩展资料：

1.级数

将数列unun的项u1,u2,…,un,…u1,u2,…,un,…，依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如：u1+u2+…+un+…u1+u2+…+un+…，简写为∑un∑un，unun称为级数的通项，记Sn=∑unSn=∑un称之为级数的部分和。

如果当n→∞n→∞时，数列有极限，则说级数收敛，并以SS为其和，记为∑un=S∑un=S；否则就说级数发散。

2.简单证明

基本手段-放缩

级数n+1−−−−−√−n−√n+1−n的敛散性：

∑n+1−−−−−√−n−−√=∑1n+1−−−−−√+n−−√>∑12n+1−−−−−√>∑12(n+1)，

因此其是发散的。